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Exercice 1

On a vue en cours que le langage PAIR peut être défini par :

• Définition 1:
  • base : 2 \in PAIR
  • règle : si x \in PAIR, alors x+2 \in PAIR
• Définition 2:
  • base : 2 \in PAIR
  • règle : si (x,y)\ \in PAIR^2, alors x+y \in PAIR

Question 1

Vérifier que 16 est dans PAIR

En utilisant la Définition 1

• 2 \in PAIR \rightarrow 2+2 = 4 \in PAIR
• 4 \in PAIR \rightarrow 4+2 = 6 \in PAIR
• 6 \in PAIR \rightarrow 6+2 = 8 \in PAIR
• 8 \in PAIR \rightarrow 8+2 = 10 \in PAIR
• 10 \in PAIR \rightarrow 10+2 = 12 \in PAIR
• 12 \in PAIR \rightarrow 12+2 = 14 \in PAIR
• 14 \in PAIR \rightarrow 14+2 = 16 \in PAIR

En utilisant la Définition 2

• 2 \in PAIR \rightarrow 2+2 = 4 \in PAIR
• 8 \in PAIR \rightarrow 4+4 = 8 \in PAIR
• 8 \in PAIR \rightarrow 8+8 = 16 \in PAIR

Exercice 2

Soit \Sigma=\{a, b, c\} et soit deux mots : \omega = ababc et q=caba

Question 1

1. Calculer \omega^0
2. \omega^1
3. \omega^2

1. \omega^0 = \epsilon
2. \omega^1 = \omega = ababc
3. \omega^2 = \omega \omega = ababcababc

Question 2

Calculer \omega q^2 \omega

\omega q^2 \omega = \omega qq \omega = ababccabacabaababc

Question 3

1. Calculer |\omega|_{ab}
2. Calculer |(ab)^4|
3. Calculer |(ab)^4|_{aba}

1. |\omega|_{ab} = 2
2. |(ab)^4| = 4
3. |(ab)^4|_{aba} = 3

Question 4

Donner pour q :

1. les préfixes
2. les préfixes propres
3. les suffixes
4. les suffixes propres

On a :

1. préfixes de q = \{\epsilon,c,ca,cab,caba\}
2. préfixes propres de q = \{\epsilon,c,ca,cab\}
3. suffixes de q = \{caba,aba,ba,a,\epsilon\}
4. suffixes propres de q = \{aba,ba,a,\epsilon\}

Exercice 3

Question 1

Quels sont les 2 langages dont la fermeture en étoile donne le langage uniquement composé du mot vide \epsilon ?

1. \{\epsilon\}
2. \{\}

Question 2

Les mots suivants sont-ils générés par le langage (ab^*)b^* :

• \epsilon \rightarrow a\epsilon\epsilon \rightarrow FALSE
• a \rightarrow a\epsilon\epsilon \rightarrow TRUE
• aa \rightarrow ab\epsilon \rightarrow FALSE
• ba \rightarrow ab\epsilon \rightarrow FALSE
• abbb \rightarrow ab^4 \epsilon = a\epsilon b^4 = ab^2b^2 = ... \rightarrow TRUE
• ababb \rightarrow ab^1 ... \rightarrow FALSE
• baba \rightarrow FALSE