Chapitre II - Grammaire

Exemples

Règles de production

P → SVC
S → G
C → G
G → AN
G → ADN
N → fille | dame
A → la
D → vieille | petite
V → regarde

Dérivation d'une phrase (recherche de chemin)

"La vielle dame regarde la petite fille"

Etapes de dérivation:

P → SVC
→ GVC
→ ADNVC
→ la DNVC
→ la vieille NVC
→ la vieille dame VC
→ la vieille dame regarde C
→ la vieille dame regarde G
→ la vieille dame regarde ADN
→ la vieille dame regarde la DN
→ la vieille dame regarde la petite N
→ la vieille dame regarde la petite fille

Grammaire

Définition

Ensemble de règles permettant de générer des mots du langage sous forme de réécriture (on remplace une séquence par une autre).

Une grammaire est un quadruplet G = (N, T, P, S) ou :

N est l'ensemble des symboles non terminaux

T est l'ensemble des symboles terminaux : caractères de l'alphabet

P est un ensemble de règles de production, de la forme α → β avec α ∈ (N ∪ T)⁺ et β ∈ (N ∪ T)^*

S est le symbole de départ appelé axiome>

Notations

Pour les caractères de N: on utilisera (habituellement) des majuscules.
Pour les caractères de T: on utilisera (habituellement) des minuscules.
Pour les règles de P, nos règles seront de la forme X → β, avec X ∈ N et β ∈ (N ∪ T)^*
L'axiome, noté S (habituellement), est la base de la définition inductive, et c'est la racine de tout arbre de dérivation valide.

Remarques

Souvent on décrit une grammaire seulement par les règles.
On peut avoir des règles de production dont la partie de droite est réduite à ϵ ; on appelera ces règles des ϵ − productions

Dérivation

Dérivation du plus à gauche

Une suite de dérivations obtenues en choisissant à chaque étape le symbole non terminal le plus à gauche.

Dérivation du plus à droite

Une suite de dérivations obtenues en choisissant à chaque étape le symbole non terminal le plus à droite.

Dérivation en 1 étape

Soit G = (N, T, P, S) une grammaire. G permet de dériver v de u en une étape, notée u→_Gv, si et seulement si:

u = xu′v
v = xv′v
u′=v′ est dans P

Dérivation en plusieurs étapes

Soit G = (N, T, P, S) une grammaire. G permet de dériver v de u en plusieurs étapes, noté u → *_Gv si et seulement si il existe k et v₀, ..., v_k tels que :

u = v₀
v = v_k
v_i → v_i + 1 pour 0 < i < k

Mots générés par une grammaire

Définition

Soit G = (N, T, P, S). Les mots générés (engendrés) par G sont les mots v ∈ T^* (symboles terminaux) qui peuvent être dérivés à partir de l'axiome S : S → *_Gv

Langage généré par une grammaire

Définition

On note L(G) le langage généré par G

C'est l'ensemble des mots que l'on peut définir à partir de l'axiome de G en appliquant un nombre finis de fois des règles de G. L(G)={v ∈ T^*, S → *_Gv}

Exemples

Grammaire G₁

s → aS
s → bS
s → a
s → b
s → ϵ

Grammaire G₂

On veut traduire le langage Σ = {a, b} ou tous les mots sont de la forme w = αaaβ
On va utiliser la grammaire G₂
1. S → AaaB
2. A → aA|bA|ϵ
3. B → aB|bB|ϵ
Pour le mot w = abbaabb, ∈L(G2)
- S → AaaB
- → aAaaB
- → abAaaB
- → abbAaaB
- → abbϵaaB
- → abbϵaabB
- → abbϵaabbϵ
- abbϵaabbϵ = w c'est une dérivation la plus à gauche

Arbre syntaxique

Définition

Soit G = (N, T, P, S). Un arbre syntaxique est un arbre dont la racine est l'axiome (S), dont les noeuds internes sont étiquetés par des symboles de N, et les feuilles sont étiquetées par des symboles de T ou par le mot vide. Chaque noeud interne correspond à une règle de production.

Exemple

Soit G₁ (sous forme factorisée): les règles de production ont une numérotation implicite :

S → aS ₍₁₎ | bS ₍₂₎ | a ₍₃₎) | b ₍₄₎ | ϵ ₍₅₎

Soit le mot ω = abab, l'arbre syntaxique est donné par:

S → S
→ aS
→ abS
→ abaS
→ ababS → ababϵ (2)(5)
ou
→ abab (4)

Equivalence - Définition

On dit de 2 grammaires G₁ et G₂ sont équivalentes, notés G₁ ∼ G₂, si elles engendrent le même langage, i.e. si L(G₁)=L(G₂)

Grammaire ambigue - Définition

Une grammaire G est dite ambigue s'il existe un mot ω de L(G) qui admet au moins deux arbres syntaxiques à partir de S.