Exercice 1

On a vue en cours que le langage PAIR peut être défini par :

• Définition 1:
  • base : 2 ∈ PAIR
  • règle : si x ∈ PAIR, alors x + 2 ∈ PAIR
• Définition 2:
  • base : 2 ∈ PAIR
  • règle : si (x, y)  ∈ PAIR², alors x + y ∈ PAIR

Question 1

Vérifier que 16 est dans PAIR

En utilisant la Définition 1

• 2 ∈ PAIR → 2 + 2 = 4 ∈ PAIR
• 4 ∈ PAIR → 4 + 2 = 6 ∈ PAIR
• 6 ∈ PAIR → 6 + 2 = 8 ∈ PAIR
• 8 ∈ PAIR → 8 + 2 = 10 ∈ PAIR
• 10 ∈ PAIR → 10 + 2 = 12 ∈ PAIR
• 12 ∈ PAIR → 12 + 2 = 14 ∈ PAIR
• 14 ∈ PAIR → 14 + 2 = 16 ∈ PAIR

En utilisant la Définition 2

• 2 ∈ PAIR → 2 + 2 = 4 ∈ PAIR
• 8 ∈ PAIR → 4 + 4 = 8 ∈ PAIR
• 8 ∈ PAIR → 8 + 8 = 16 ∈ PAIR

Exercice 2

Soit Σ = {a, b, c} et soit deux mots : ω = ababc et q = caba

Question 1

1. Calculer ω⁰
2. ω¹
3. ω²

1. ω⁰ = ϵ
2. ω¹ = ω = ababc
3. ω² = ωω = ababcababc

Question 2

Calculer ωq²ω

ωq²ω = ωqqω = ababccabacabaababc

Question 3

1. Calculer |ω|_ab
2. Calculer |(ab)⁴|
3. Calculer |(ab)⁴|_aba

1. |ω|_ab = 2
2. |(ab)⁴|=4
3. |(ab)⁴|_aba = 3

Question 4

Donner pour q :

1. les préfixes
2. les préfixes propres
3. les suffixes
4. les suffixes propres

On a :

1. préfixes de q = {ϵ, c, ca, cab, caba}
2. préfixes propres de q = {ϵ, c, ca, cab}
3. suffixes de q = {caba, aba, ba, a, ϵ}
4. suffixes propres de q = {aba, ba, a, ϵ}

Exercice 3

Question 1

Quels sont les 2 langages dont la fermeture en étoile donne le langage uniquement composé du mot vide ϵ ?

1. {ϵ}
2. {}

Question 2

Les mots suivants sont-ils générés par le langage (ab^*)b^* :

• ϵ → aϵϵ→ FALSE
• a → aϵϵ→ TRUE
• aa → abϵ→ FALSE
• ba → abϵ→ FALSE
• abbb → ab⁴ϵ = aϵb⁴ = ab²b² = ...→ TRUE
• ababb → ab¹...→ FALSE
• baba→ FALSE