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<!DOCTYPE html>
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<html>
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<head>
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<meta charset="utf-8">
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<meta name="generator" content="pandoc">
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<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0, user-scalable=yes">
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<title></title>
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<style type="text/css">code{white-space: pre;}</style>
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<link rel="stylesheet" href="../../../dependencies/pandoc.css">
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<!--[if lt IE 9]>
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<![endif]-->
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</head>
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<body>
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<h1 id="exercice-1">Exercice 1</h1>
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<p>On a vue en cours que le langage <code>PAIR</code> peut être défini par :</p>
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<ul>
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<li>Définition 1:
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<ul>
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<li><strong>base</strong> : <span class="math inline">2 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span></li>
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<li><strong>règle</strong> : si <span class="math inline"><em>x</em> ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span>, alors <span class="math inline"><em>x</em> + 2 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span></li>
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</ul></li>
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<li>Définition 2:
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<ul>
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<li><strong>base</strong> : <span class="math inline">2 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span></li>
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<li><strong>règle</strong> : si <span class="math inline">(<em>x</em>, <em>y</em>) ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em><sup>2</sup></span>, alors <span class="math inline"><em>x</em> + <em>y</em> ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span></li>
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</ul></li>
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</ul>
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<h3 id="question-1">Question 1</h3>
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<blockquote>
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<p>Vérifier que <code>16</code> est dans <code>PAIR</code></p>
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</blockquote>
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<h5 id="en-utilisant-la-définition-1">En utilisant la <em>Définition 1</em></h5>
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<ul>
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<li><span class="math inline">2 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em> → 2 + 2 = 4 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span></li>
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<li><span class="math inline">4 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em> → 4 + 2 = 6 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span></li>
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<li><span class="math inline">6 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em> → 6 + 2 = 8 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span></li>
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<li><span class="math inline">8 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em> → 8 + 2 = 10 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span></li>
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<li><span class="math inline">10 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em> → 10 + 2 = 12 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span></li>
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<li><span class="math inline">12 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em> → 12 + 2 = 14 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span></li>
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<li><span class="math inline">14 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em> → 14 + 2 = 16 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span></li>
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</ul>
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<h5 id="en-utilisant-la-définition-2">En utilisant la <em>Définition 2</em></h5>
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<ul>
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<li><span class="math inline">2 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em> → 2 + 2 = 4 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span></li>
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<li><span class="math inline">8 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em> → 4 + 4 = 8 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span></li>
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<li><span class="math inline">8 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em> → 8 + 8 = 16 ∈ <em>P</em><em>A</em><em>I</em><em>R</em></span></li>
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</ul>
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<h1 id="exercice-2">Exercice 2</h1>
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<p>Soit <span class="math inline"><em>Σ</em> = {<em>a</em>, <em>b</em>, <em>c</em>}</span> et soit deux mots : <span class="math inline"><em>ω</em> = <em>a</em><em>b</em><em>a</em><em>b</em><em>c</em></span> et <span class="math inline"><em>q</em> = <em>c</em><em>a</em><em>b</em><em>a</em></span></p>
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<h3 id="question-1-1">Question 1</h3>
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<blockquote>
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<ol type="1">
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<li>Calculer <span class="math inline"><em>ω</em><sup>0</sup></span></li>
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<li><span class="math inline"><em>ω</em><sup>1</sup></span></li>
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<li><span class="math inline"><em>ω</em><sup>2</sup></span></li>
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</ol>
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</blockquote>
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<blockquote>
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<ol type="1">
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<li><span class="math inline"><em>ω</em><sup>0</sup> = <em>ϵ</em></span></li>
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<li><span class="math inline"><em>ω</em><sup>1</sup> = <em>ω</em> = <em>a</em><em>b</em><em>a</em><em>b</em><em>c</em></span></li>
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<li><span class="math inline"><em>ω</em><sup>2</sup> = <em>ω</em><em>ω</em> = <em>a</em><em>b</em><em>a</em><em>b</em><em>c</em><em>a</em><em>b</em><em>a</em><em>b</em><em>c</em></span></li>
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</ol>
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</blockquote>
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<h3 id="question-2">Question 2</h3>
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<blockquote>
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<p>Calculer <span class="math inline"><em>ω</em><em>q</em><sup>2</sup><em>ω</em></span></p>
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</blockquote>
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<blockquote>
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<p><span class="math inline"><em>ω</em><em>q</em><sup>2</sup><em>ω</em> = <em>ω</em><em>q</em><em>q</em><em>ω</em> = <em>a</em><em>b</em><em>a</em><em>b</em><em>c</em><em>c</em><em>a</em><em>b</em><em>a</em><em>c</em><em>a</em><em>b</em><em>a</em><em>a</em><em>b</em><em>a</em><em>b</em><em>c</em></span></p>
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</blockquote>
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<h3 id="question-3">Question 3</h3>
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<blockquote>
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<ol type="1">
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<li>Calculer <span class="math inline">|<em>ω</em>|<sub><em>a</em><em>b</em></sub></span></li>
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<li>Calculer <span class="math inline">|(<em>a</em><em>b</em>)<sup>4</sup>|</span></li>
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<li>Calculer <span class="math inline">|(<em>a</em><em>b</em>)<sup>4</sup>|<sub><em>a</em><em>b</em><em>a</em></sub></span></li>
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</ol>
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</blockquote>
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<blockquote>
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<ol type="1">
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<li><span class="math inline">|<em>ω</em>|<sub><em>a</em><em>b</em></sub> = 2</span></li>
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<li><span class="math inline">|(<em>a</em><em>b</em>)<sup>4</sup>|=4</span></li>
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<li><span class="math inline">|(<em>a</em><em>b</em>)<sup>4</sup>|<sub><em>a</em><em>b</em><em>a</em></sub> = 3</span></li>
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</ol>
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</blockquote>
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<h3 id="question-4">Question 4</h3>
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<p>Donner pour q :</p>
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<ol type="1">
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<li>les préfixes</li>
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<li>les préfixes propres</li>
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<li>les suffixes</li>
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<li>les suffixes propres</li>
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</ol>
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</blockquote>
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<p>On a :</p>
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<ol type="1">
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<li>préfixes de q = <span class="math inline">{<em>ϵ</em>, <em>c</em>, <em>c</em><em>a</em>, <em>c</em><em>a</em><em>b</em>, <em>c</em><em>a</em><em>b</em><em>a</em>}</span></li>
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<li>préfixes propres de q = <span class="math inline">{<em>ϵ</em>, <em>c</em>, <em>c</em><em>a</em>, <em>c</em><em>a</em><em>b</em>}</span></li>
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<li>suffixes de q = <span class="math inline">{<em>c</em><em>a</em><em>b</em><em>a</em>, <em>a</em><em>b</em><em>a</em>, <em>b</em><em>a</em>, <em>a</em>, <em>ϵ</em>}</span></li>
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<li>suffixes propres de q = <span class="math inline">{<em>a</em><em>b</em><em>a</em>, <em>b</em><em>a</em>, <em>a</em>, <em>ϵ</em>}</span></li>
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</ol>
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</blockquote>
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<h1 id="exercice-3">Exercice 3</h1>
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<h3 id="question-1-2">Question 1</h3>
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<blockquote>
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<p>Quels sont les 2 langages dont la fermeture en étoile donne le langage uniquement composé du mot vide <span class="math inline"><em>ϵ</em></span> ?</p>
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</blockquote>
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<blockquote>
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<ol type="1">
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<li><span class="math inline">{<em>ϵ</em>}</span></li>
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<li><span class="math inline">{}</span></li>
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</ol>
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</blockquote>
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<h3 id="question-2-1">Question 2</h3>
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<p>Les mots suivants sont-ils générés par le langage <span class="math inline">(<em>a</em><em>b</em><sup>*</sup>)<em>b</em><sup>*</sup></span> :</p>
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<ul>
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<li><span class="math inline"><em>ϵ</em> → <em>a</em><em>ϵ</em><em>ϵ</em>→</span> <code>FALSE</code></li>
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<li><span class="math inline"><em>a</em> → <em>a</em><em>ϵ</em><em>ϵ</em>→</span> <code>TRUE</code></li>
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<li><span class="math inline"><em>a</em><em>a</em> → <em>a</em><em>b</em><em>ϵ</em>→</span> <code>FALSE</code></li>
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<li><span class="math inline"><em>b</em><em>a</em> → <em>a</em><em>b</em><em>ϵ</em>→</span> <code>FALSE</code></li>
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<li><span class="math inline"><em>a</em><em>b</em><em>b</em><em>b</em> → <em>a</em><em>b</em><sup>4</sup><em>ϵ</em> = <em>a</em><em>ϵ</em><em>b</em><sup>4</sup> = <em>a</em><em>b</em><sup>2</sup><em>b</em><sup>2</sup> = ...→</span> <code>TRUE</code></li>
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<li><span class="math inline"><em>a</em><em>b</em><em>a</em><em>b</em><em>b</em> → <em>a</em><em>b</em><sup>1</sup>...→</span> <code>FALSE</code></li>
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<li><span class="math inline"><em>b</em><em>a</em><em>b</em><em>a</em>→</span> <code>FALSE</code></li>
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</ul>
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</blockquote>
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</body>
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