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Exercice 1
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On a vue en cours que le langage `PAIR` peut être défini par :
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* Définition 1:
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* **base** : $2 \in PAIR$
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* **règle** : si $x \in PAIR$, alors $x+2 \in PAIR$
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* Définition 2:
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* **base** : $2 \in PAIR$
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* **règle** : si $(x,y)\ \in PAIR^2$, alors $x+y \in PAIR$
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### Question 1
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> Vérifier que `16` est dans `PAIR`
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##### En utilisant la *Définition 1*
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* $2 \in PAIR \rightarrow 2+2 = 4 \in PAIR$
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* $4 \in PAIR \rightarrow 4+2 = 6 \in PAIR$
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* $6 \in PAIR \rightarrow 6+2 = 8 \in PAIR$
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* $8 \in PAIR \rightarrow 8+2 = 10 \in PAIR$
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* $10 \in PAIR \rightarrow 10+2 = 12 \in PAIR$
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* $12 \in PAIR \rightarrow 12+2 = 14 \in PAIR$
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* $14 \in PAIR \rightarrow 14+2 = 16 \in PAIR$
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##### En utilisant la *Définition 2*
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* $2 \in PAIR \rightarrow 2+2 = 4 \in PAIR$
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* $8 \in PAIR \rightarrow 4+4 = 8 \in PAIR$
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* $8 \in PAIR \rightarrow 8+8 = 16 \in PAIR$
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Exercice 2
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Soit $\Sigma=\{a, b, c\}$ et soit deux mots : $\omega = ababc$ et $q=caba$
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### Question 1
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> 1. Calculer $\omega^0$
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> 2. $\omega^1$
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> 3. $\omega^2$
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> 1. $\omega^0 = \epsilon$
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> 2. $\omega^1 = \omega = ababc$
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> 3. $\omega^2 = \omega \omega = ababcababc$
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### Question 2
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> Calculer $\omega q^2 \omega$
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> $\omega q^2 \omega = \omega qq \omega = ababccabacabaababc$
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### Question 3
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> 1. Calculer $|\omega|_{ab}$
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> 2. Calculer $|(ab)^4|$
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> 3. Calculer $|(ab)^4|_{aba}$
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> 1. $|\omega|_{ab} = 2$
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> 2. $|(ab)^4| = 4$
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> 3. $|(ab)^4|_{aba} = 3$
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### Question 4
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> Donner pour q :
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>
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> 1. les préfixes
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> 2. les préfixes propres
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> 3. les suffixes
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> 4. les suffixes propres
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> On a :
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>
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> 1. préfixes de q = $\{\epsilon,c,ca,cab,caba\}$
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> 2. préfixes propres de q = $\{\epsilon,c,ca,cab\}$
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> 3. suffixes de q = $\{caba,aba,ba,a,\epsilon\}$
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> 4. suffixes propres de q = $\{aba,ba,a,\epsilon\}$
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Exercice 3
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### Question 1
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> Quels sont les 2 langages dont la fermeture en étoile donne le langage uniquement composé du mot vide $\epsilon$ ?
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> 1. $\{\epsilon\}$
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> 2. $\{\}$
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### Question 2
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> Les mots suivants sont-ils générés par le langage $(ab^*)b^*$ :
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> * $\epsilon \rightarrow a\epsilon\epsilon \rightarrow$ `FALSE`
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> * $a \rightarrow a\epsilon\epsilon \rightarrow$ `TRUE`
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> * $aa \rightarrow ab\epsilon \rightarrow$ `FALSE`
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> * $ba \rightarrow ab\epsilon \rightarrow$ `FALSE`
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> * $abbb \rightarrow ab^4 \epsilon = a\epsilon b^4 = ab^2b^2 = ... \rightarrow$ `TRUE`
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> * $ababb \rightarrow ab^1 ... \rightarrow$ `FALSE`
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> * $baba \rightarrow$ `FALSE`
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